Algebra lineare Esempi

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x - 5 = 0$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Passaggio 1

Sposta tutte le variabili sul lato sinistro di ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma

$5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Passaggio 1.2

Sposta

$- 2 z$ .

$2 x - 3 y + z = 4$

$y + x - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Passaggio 1.3

Riordina

$y$ e

$x$ .

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Passaggio 1.4

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sottrai

$4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y = - z$

Passaggio 1.4.2

Somma

$z$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

Passaggio 1.5

Sottrai

$3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

Passaggio 2

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova il determinante della matrice del coefficiente

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scrivi

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ in notazione del determinante.

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.2

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

$0$ . Se non ci sono elementi

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga

$1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

$-$ .

Passaggio 3.2.3

Il minore per

$a_{11}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica l'elemento

$a_{11}$ per il suo cofattore.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.2.5

Il minore per

$a_{12}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica l'elemento

$a_{12}$ per il suo cofattore.

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.2.7

Il minore per

$a_{13}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica l'elemento

$a_{13}$ per il suo cofattore.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.2.9

Somma i termini.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.3

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica

$1$ per

$1$ .

$2 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica

$- (- 4 \cdot - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Moltiplica

$- 4$ per

$- 2$ .

$2 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$8$ .

$2 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai

$8$ da

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.4

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica

$1$ per

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica

$- (- 2 \cdot - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.1

Moltiplica

$- 2$ per

$- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.4.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$4$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai

$4$ da

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.5

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Passaggio 3.5.2.1.2

Moltiplica

$- (- 2 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.2.1

Moltiplica

$- 2$ per

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - - 2)$

Passaggio 3.5.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 + 2)$

Passaggio 3.5.2.2

Somma

$- 4$ e

$2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Passaggio 3.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Moltiplica

$2$ per

$- 7$ .

$- 14 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica

$3$ per

$- 3$ .

$- 14 - 9 + 1 \cdot - 2$

Passaggio 3.6.1.3

Moltiplica

$- 2$ per

$1$ .

$- 14 - 9 - 2$

Passaggio 3.6.2

Sottrai

$9$ da

$- 14$ .

$- 23 - 2$

Passaggio 3.6.3

Sottrai

$2$ da

$- 23$ .

$- 25$

$D = - 25$

Passaggio 4

Poiché il determinante non è

$0$ , il sistema può essere risolto usando la Regola di Cramer.

Passaggio 5

Trova il valore di

$x$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la colonna

$1$ della matrice di coefficiente che corrisponde ai coefficienti

$x$ del sistema con

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 1 \\ 5 & 1 & - 2 \\ - 3 & - 4 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

$0$ . Se non ci sono elementi

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga

$1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

$-$ .

Passaggio 5.2.1.3

Il minore per

$a_{11}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica l'elemento

$a_{11}$ per il suo cofattore.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.5

Il minore per

$a_{12}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica l'elemento

$a_{12}$ per il suo cofattore.

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.7

Il minore per

$a_{13}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.8

Moltiplica l'elemento

$a_{13}$ per il suo cofattore.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.9

Somma i termini.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Moltiplica

$1$ per

$1$ .

$4 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Moltiplica

$- (- 4 \cdot - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1

Moltiplica

$- 4$ per

$- 2$ .

$4 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$8$ .

$4 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.2

Sottrai

$8$ da

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3

Calcola

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.1

Moltiplica

$5$ per

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.2

Moltiplica

$- (- 3 \cdot - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.2.1

Moltiplica

$- 3$ per

$- 2$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 1 \cdot 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$6$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.2

Sottrai

$6$ da

$5$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4

Calcola

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (5 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 1))$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1.1

Moltiplica

$5$ per

$- 4$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - (- 3 \cdot 1))$

Passaggio 5.2.4.2.1.2

Moltiplica

$- (- 3 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1.2.1

Moltiplica

$- 3$ per

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - - 3)$

Passaggio 5.2.4.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 + 3)$

Passaggio 5.2.4.2.2

Somma

$- 20$ e

$3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Moltiplica

$4$ per

$- 7$ .

$- 28 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Passaggio 5.2.5.1.2

Moltiplica

$3$ per

$- 1$ .

$- 28 - 3 + 1 \cdot - 17$

Passaggio 5.2.5.1.3

Moltiplica

$- 17$ per

$1$ .

$- 28 - 3 - 17$

Passaggio 5.2.5.2

Sottrai

$3$ da

$- 28$ .

$- 31 - 17$

Passaggio 5.2.5.3

Sottrai

$17$ da

$- 31$ .

$- 48$

$D_{x} = - 48$

Passaggio 5.3

Usa la formula per risolvere per

$x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Passaggio 5.4

Nella formula, sostituisci

$- 25$ a

$D$ e

$- 48$ a

$D_{x}$ .

$x = \frac{- 48}{- 25}$

Passaggio 5.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{48}{25}$

Passaggio 6

Trova il valore di

$y$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la colonna

$2$ della matrice di coefficiente che corrisponde ai coefficienti

$y$ del sistema con

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & - 2 \\ - 2 & - 3 & 1 \end{array} |$

Passaggio 6.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

$0$ . Se non ci sono elementi

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga

$1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

$-$ .

Passaggio 6.2.1.3

Il minore per

$a_{11}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica l'elemento

$a_{11}$ per il suo cofattore.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.5

Il minore per

$a_{12}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica l'elemento

$a_{12}$ per il suo cofattore.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.7

Il minore per

$a_{13}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.8

Moltiplica l'elemento

$a_{13}$ per il suo cofattore.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.9

Somma i termini.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2

Calcola

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Moltiplica

$5$ per

$1$ .

$2 (5 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Moltiplica

$- (- 3 \cdot - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.2.1

Moltiplica

$- 3$ per

$- 2$ .

$2 (5 - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$6$ .

$2 (5 - 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2.2

Sottrai

$6$ da

$5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1.1

Moltiplica

$1$ per

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2.1.2

Moltiplica

$- (- 2 \cdot - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1.2.1

Moltiplica

$- 2$ per

$- 2$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$4$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2.2

Sottrai

$4$ da

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.4

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5))$

Passaggio 6.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1.1

Moltiplica

$- 3$ per

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - (- 2 \cdot 5))$

Passaggio 6.2.4.2.1.2

Moltiplica

$- (- 2 \cdot 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1.2.1

Moltiplica

$- 2$ per

$5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - - 10)$

Passaggio 6.2.4.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 + 10)$

Passaggio 6.2.4.2.2

Somma

$- 3$ e

$10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.1

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Passaggio 6.2.5.1.2

Moltiplica

$- 4$ per

$- 3$ .

$- 2 + 12 + 1 \cdot 7$

Passaggio 6.2.5.1.3

Moltiplica

$7$ per

$1$ .

$- 2 + 12 + 7$

Passaggio 6.2.5.2

Somma

$- 2$ e

$12$ .

$10 + 7$

Passaggio 6.2.5.3

Somma

$10$ e

$7$ .

$17$

$D_{y} = 17$

Passaggio 6.3

Usa la formula per risolvere per

$y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Passaggio 6.4

Nella formula, sostituisci

$- 25$ a

$D$ e

$17$ a

$D_{y}$ .

$y = \frac{17}{- 25}$

Passaggio 6.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{17}{25}$

Passaggio 7

Trova il valore di

$z$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che

$z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la colonna

$3$ della matrice di coefficiente che corrisponde ai coefficienti

$z$ del sistema con

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \\ - 2 & - 4 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 7.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

$0$ . Se non ci sono elementi

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga

$1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 7.2.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

$-$ .

Passaggio 7.2.1.3

Il minore per

$a_{11}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica l'elemento

$a_{11}$ per il suo cofattore.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 7.2.1.5

Il minore per

$a_{12}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica l'elemento

$a_{12}$ per il suo cofattore.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 7.2.1.7

Il minore per

$a_{13}$ è il determinante con riga

$1$ e colonna

$3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.2.1.8

Moltiplica l'elemento

$a_{13}$ per il suo cofattore.

$4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.2.1.9

Somma i termini.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.2.2

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (1 \cdot - 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Moltiplica

$- 3$ per

$1$ .

$2 (- 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Moltiplica

$- (- 4 \cdot 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.2.1

Moltiplica

$- 4$ per

$5$ .

$2 (- 3 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.2.2.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 20$ .

$2 (- 3 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.2.2.2.2

Somma

$- 3$ e

$20$ .

$2 \cdot 17 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.2.3

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1.1

Moltiplica

$- 3$ per

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.2.3.2.1.2

Moltiplica

$- (- 2 \cdot 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1.2.1

Moltiplica

$- 2$ per

$5$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - - 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.2.3.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 10$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 + 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.2.3.2.2

Somma

$- 3$ e

$10$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 7.2.4

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Passaggio 7.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.1.1

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Passaggio 7.2.4.2.1.2

Moltiplica

$- (- 2 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.1.2.1

Moltiplica

$- 2$ per

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - - 2)$

Passaggio 7.2.4.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 + 2)$

Passaggio 7.2.4.2.2

Somma

$- 4$ e

$2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Passaggio 7.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1.1

Moltiplica

$2$ per

$17$ .

$34 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Passaggio 7.2.5.1.2

Moltiplica

$3$ per

$7$ .

$34 + 21 + 4 \cdot - 2$

Passaggio 7.2.5.1.3

Moltiplica

$4$ per

$- 2$ .

$34 + 21 - 8$

Passaggio 7.2.5.2

Somma

$34$ e

$21$ .

$55 - 8$

Passaggio 7.2.5.3

Sottrai

$8$ da

$55$ .

$47$

$D_{z} = 47$

Passaggio 7.3

Usa la formula per risolvere per

$z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Passaggio 7.4

Nella formula, sostituisci

$- 25$ a

$D$ e

$47$ a

$D_{z}$ .

$z = \frac{47}{- 25}$

Passaggio 7.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$z = - \frac{47}{25}$

Passaggio 8

Elenca la soluzione al sistema di equazioni.

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$